Portfolion tuotto-odotus ja riski

Edellisessä kirjoituksessa käsittelin yksittäisen osakkeen tuotto-odotuksen ja riskin laskentaa käytännön esimerkin kautta. Nyt käsittelen samaa asiaa kokonaisen portfolion näkökulmasta. Näistä asioista ensimmäisen eli tuotto-odotuksen laskeminen on verrattain yksinkertainen operaatio. Sen sijaan salkun kokonaisriskin laskeminen on varsin monimutkainen tehtävä. Yritän parhaani mukaan selittää portfolion riskin laskennan auki mahdollisimman yksinkertaisesti.

Linkin tekemääni taulukkoon salkun tuotto-odotuksen ja riskin laskemiseen löydät artikkelin lopusta.

Salkun tuotto-odotuksen laskeminen

Koko salkun tuotto-odotuksen laskenta lähtee liikkeelle siitä, että ensiksi listataan sijoitukset. Kuten ylläolevasta taulukosta ilmenee omistan itse seuraavia ETF:iä: EWZ (Brasilia), FXI (Kiina), RSX (Venäjä), IWV (Yhdysvallat), VGK (Eurooppa) ja OMXH25 (Suomi).

Tämän jälkeen olen arvopaperin nimen alapuolelle CAPM:ia hyväksikäyttäen laskenut jokaisen yksittäisen sijoituskohteen tuotto-odotuksen (expected return).

Yksittäisten sijoitusten tuotto-odotusten alapuolelle olen kaivanut niiden keskihajonnat  (standard deviation) Yahoo Finance -palvelusta USA:ssa noteerattavien ETF:ien osalta ja OMXH25:n osalta Seligsonin kotisivulta. Mikäli olet kiinnostunut laskemaan pelkästään salkun tuotto-odotuksen ei keskihajontojen tiedot ole tarpeen.

Seuraavalla rivillä olen listannut jokaisen sijoituskohteen painon (weight) salkussani. Esimerkiksi Venäjälle sijoittava RSX on salkussani 22,40%:n painolla. Olen myös varmistanut, että syötetyt painot ovat oikein laskemalla ne yhteen. Luonnollisesti salkun kokonaispainon tulee olla 100%. Tämäkään kohta ei ole pakollinen salkun tuotto-odotuksen laskemista varten, mutta se on hyödyllinen myöhemmin, kun käytämme hyväksi taulukkolaskentaohjelman Solver -toiminnallisuutta salkun keskihajonnan minimoimiseksi.

Nyt olemme valmiita laskemaan salkun tuotto-odotuksen. Se tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla jokaisen sijoituksen paino-arvo salkussa sen tuotto-odotuksella, sekä lopuksi laskemalla ne yhteen. Siten yleistäen salkun tuotto-odotuksen laskennan kaava näyttää tältä:

Omassa tapauksessani tuotto-odotus siis on:
E(R_p) = (0,2830 * 0,1563) + (0,2140 * 0,1456) + (0,2240 * 0,1695) + (0,1190 * 0,1225) + (0,0560 * 0,1274) + (0,1040 * 0,1703)
E(R_p) = 0,1528

Salkkuni tuotto-odotus siis on 15,28%.

Salkun riskien hallinta

Useasta eri sjoituksesta koostuvan salkun riskisyyden laskeminen on kohtuullisen työläs tehtävä. Tässä yhteydessä lasken salkun riskiä käyttäen sen keskihajontaa. Vaikeus johtuu siitä, että erilaiset sijoitustuotteet korreloivat keskenään eri tavalla.

Esimerkiksi aurinkorasvoja valmistavan yrityksen osake laskee sateisina päivinä, mutta vastaavasti sateenvarjoja valmistavan yrityksen osake nousee. Jos nämä osakkeet reagoivat keskenään yhtä voimakkaasti kuvatulla tavalla on niiden välinen korrelaatio -1.  Luvun ollessa 0 ei osakkeiden välillä ole minkäänlaista korrelaatiota ja luku 1 kertoo, että osakkeet korreloivat keskenään identtisesti. Yksittäisen sijoituskohteen korrelaatio itsensä kanssa on siis aina 1. Näin eri sijoitustuotteiden korrelaatioarvo voi vaihdella lukujen -1 ja +1 välillä.

Salkku, jossa kaikki sijoitukset korreloivat voimakkaasti keskenään on heikosti hajautettu, vaikka salkussa olisi useita eri sijoituksia. Hajautuksen parantamiseksi ja samalla riskin pienentämiseksi sijoittajan kannattaa täydentää salkkuaan sellaisella tuotteella, joka korreloi salkun muiden sijoitusten kanssa erittäin heikosti tai jopa päinvastaisesti. Tällaista sijoitusta sanotaan hedgeksi.

Jo pieni määrä hedgeä voi laskea salkun kokonaisriskiä tuntuvasti tuotto-odotuksen kuitenkaan kärsimättä suuresti. Tällaiset hedge sijoitukset voivat ensiksi tuntua sijoittajasta erikoiselta valinnalta. Esimerkiksi sijoittaja, joka kysyy asiantuntevalta sijoitusneuvojalta kuinka voisi pienentää salkkunsa riskiä voi saada tämän johdosta hyvinkin hämmentäviä ehdotuksia. Sijoitusneuvoja voi ehdottaa salkun koostumuksen vuoksi sinne vaikkapa vivutettuja raaka-aine futuureja tai muita sellaisia tuotteita, jotka sijoittajasta itsestä ovat hyvin eksoottisia ja täysin erilaisia kuin salkussa olevat muut sijoitukset.  Alkuhämmennyksen jälkeen on syytä miettiä miksi näin on ehdotettu. Syy on juurikin edellä kerrottu riskiä pienentävä vaikutus, jota esimerkin sijoittaja halusi saada aikaiseksi. Sopivan pieni annos hedgeä salkussa tekee siis hyvää!

Salkun kokonaisriskin laskeminen

Salkun kokonaisriskin selvittäminen lähtee siten liikkeelle selvittämällä ensiksi salkussa olevien sijoitusten keskinäiset korrelaatiot. Tämän suhteen olen itse onnekas, sillä suurin osa sijoituksistani noteerataan USA:ssa. USA:ssa noteerattavien osakkeiden väliset korrelaatiot on mahdollista selvittää Asset Correlations -sivustolla.

Olen poiminut sivuston laskemat korrelaatioarvot taulukkoon Correlation matrix kohdan alle. Esimerkiksi Eurooppaan sijoittavan VGK:n ja Brasiliaan sijoittavan EWZ:n välinen korrelaatio on 0,87. OMXH25:n korrelaatiota muiden sijoitusten välillä en selvittänyt, joten arvioin sen korrelaatioksi muiden kanssa 0,80, joka on aika lailla samaa luokkaa kuin muiden sijoitusten välillä. Tämän vuoksi olen taulukkoon merkinnyt OMXH25:n arvot punaisella värillä.

USA:ssa noteerattavien osakkeiden väliset korrelaatiot on saatavilla myös ez Stock Exchange -sivustolta. Tämä sivusto tarjoaa tiedot ladattavaksi csv muodossa, jolloin niitä voi käyttää omissa laskuissa vaikkapa taulukkolaskentaohjelmassa. Suomessa noteerattavien osakkeiden osalta en vastaavia palveluita ole löytänyt. Mikäli tiedät tällaisen palvelun olevan olemassa, ole hyvä ja mainitse siitä artikkelin kommenteissa. Korrelaatiot on mahdollista laskea myös itse vanhasta kurssidatasta. Tässä ohjeistus omatoimiseen korrelaation laskemiseen.

Ensimmäinen huomio omien sijoitusteni korrelaatioiden kohdalla on, että hajautus on selvästi puutteellinen. Jokainen sijoitus näyttää korreloivan voimakkaasti keskenään. Jo tämän pohjalta osaa aavistaa, että salkun keskihajonta on suuri, sillä myös yksittäisten sijoitusten keskihajonta on korkea.

Näiden lukujen jälkeen varsinainen riskin laskeminen voi alkaa.

Salkun varianssi lasketaan kertomalla kahden sijoituksen painoarvot keskenään ja tämän jälkeen niiden välinen kovarianssi, sekä lopuksi ynnäämällä nämä kaikki kombinaatiot keskenään. Kovarianssi puolestaan lasketaan kertomalla kahden sijoituskohteen välinen korrelaatio niiden keskihajonnoilla. Esimerkiksi EWZ:n ja FXI:n kovarianssi eli Cov(r_EWZ, r_FXI) on 0,81 * 0,4058 * 0,4103 = 0,13486479. Yleistäen kaava on seuraava:

Koska Cov(r_i, r_j) = σ_iσ_jΡ_ij olen laskenut kaavan jälkiosan eli kovarianssien tulokset erikseen kohtaan Covariance matrix. Tämän jälkeen olen kertonut painoilla kovarianssit kohtaan Variance matrix. Variance matrix kohdassa on siis ratkaistuna kaavan w_iw_jσ_iσ_jΡ_ij osuus.

Salkun kokonaisvarianssin selvittäminen käy tämän jälkeen yksinkertaisesti laskemalla kaikki Variance matrix kohdan  luvut yhteen. Tämän olen laskenut soluun A44.

Lopuksi salkun keskihajonnan saa selville ottamalla salkun varianssista (solu A44) neliöjuuri, jonka olen laskenut soluun A45.

Salkkuni keskihajonta on 39,72% eli erittäin korkea.

Salkun optimointi

Kun salkun kokonaisriski ja tuotto-odotus on selvitetty voidaan aloittaa salkun optimointi. Optimoinnilla tarkoitetaan sijoittajalle soveltuvan parhaan mahdollisen riski-tuotto kombinaation löytämistä.

Koska taulukkoon on nyt valmiiksi syötettynä kaavat riskin ja tuotto-odotuksen laskemiseksi on helppoa muunnella salkun sisältöä ja painoarvoja, sekä katsoa miten muutokset vaikuttavat salkun tuotto-odotukseen ja kokonaisriskiin. Esimerkiksi OMXH25 on helposti korvattavissa taulukossa jollakin hedgellä ja sen vaikutuksen salkkuun näkee heti. Taulukkoon tarvitsee vain kirjata korvattavan sijoitustuotteen tuotto-odotus, keskihajonta ja korrelaatiot muiden salkussa olevien sijoitusten kesken.

Mikäli sijoittaja haluaa löytää salkun sijoitusten painoarvoja muuttamalla pienimmän mahdollisen keskihajonnan tai suurimman mahdollisen tuotto-odotuksen, joka salkulla on saavutettavissa - on tällainen arvojen muuttelu käsin varsin työlästä. Onneksi tähän on olemassa valmis työkalu. Ikävä kyllä Open Office ei tue tätä työkalua, vaan tässä kohti joutuu turvautumaan Exceliin.

Esimerkiksi salkulla saavutettavissa oleva pienin mahdollinen keskihajonta on selvitettävissä taulukosta Excelillä seuraavasti. Käytettävä työkalu on nimeltään Solver. Ensiksi varmista, että se löytyy Tools valikon alta. Mikäli et löydä sitä sieltä käy lisäämässä se Add-ins valikon kautta.

1. Tämän jälkeen käynnistä Solver työkalu.
2. Valitse Set Target Cell kohtaan taulukon laskema salkun keskihajonta eli solu A45 - tämän kohdan haluamme siis ratkaista.
3. Equal To kohtaan valitse Min, sillä haluamme selvittää pienimmän mahdollisen saavutettavissa olevan arvon.
4. By Changing Cells kohtaan valitse sijoitusten painoarvot eli solut A7-F7. Näin Solver muuttelee kyseisten sijoitusten painoarvoja saadakseen selville keskihajonnan minimin.
5. Subject to the Constraints kohtaan lisätään rajoitteeksi, että salkun kokonaispainon tulee olla 100%. Tämä tapahtuu valitsemalla Cell Reference kohtaan solu F8, johon on laskettu salkun kokonaispaino, sekä syöttämällä Constraint kohtaan arvo 1. Näiden välillä oleva notaatio tulee olla = eli cell refencen tulee vastata arvoa 1 koko laskun ajan.
6. Lopuksi klikkaa Solve nappia, jolloin Excel laskee soluihin arvot, joilla pienin mahdollinen keskihajonta on saavutettavissa.

Solveria hyväksikäyttämällä ilmenee, että pienin mahdollinen salkullani saavutettavissa oleva keskihajonta olisi vain 14,80%. Tällöin tuotto-odotus laskisi 11,27%:iin eli olisi alkuperäistä asetelmaa neljä prosenttiyksikköä pienempi. Riskiä olisi siis huomattavasti vähemmän. Toisaalta taasen tämä vaatisi tiettyjen sijoitusten lyhyeksimyyntiä ja velkavivun käyttämistä USA:n sijoittavan ETF:n (IWV) osalta.

Antamalla Solverille lisää rajoitteita Subject to the Constraints kohtaan voidaan lyhyeksimyynnin ja velkavivun mahdollisuus rajata pois. Samoin yksittäisille sijoituksille voidaan asettaa painojen osalta ala- tai ylärajoja.

Saavutettavissa oleva suurin mahdollinen tuotto-odotus käy vastaavasti valitsemalla Set Target Cell:ksi taulukon laskema tuotto-odotus solusta A46 ja valitsemalla Equal To kohtaan Max.

Näin taulukkoa pyörittämällä on mahdollista löytää omasta sijoitusportfoliosta mielenkiintoisia yhdistelmiä riippuen siitä haluaako oman salkun riskisyyttä pienentää, kasvattaa tuotto-odotusta, rajata jonkin sijoituksen painoarvoa muihin nähden ja niin edelleen.

Mikäli mielenkiintosi riitti lukea tänne asti olet todennäköisesti kiinnostunut myös lataamaan tekemäni taulukon ja kokeilemaan sitä omilla sijoituksillasi. Löydät taulukon tästä. Taulukko aukeaa sekä Excelillä, että Open Officella.

Riskin laskeminen salkulle, joka muodostuu useista kymmenistä sijoitustuotteista on kuvatulla tavalla erittäin työlästä. Tällaisen portfolion riskin selvittäminen on helpompaa eräällä toisella tavalla, johon palaan ehkä myöhemmin.