Lisää salkun optimoinnista

Käsittelin edellisessä kirjoituksessani jonkin verran salkun optimointia. Salkussa olevien arvopapereiden keskinäinen korrelaatio ja siitä johdettu kovarianssi ovat olennaisia asioita salkun kokonaisriskisyyden selvittämiseksi. Nyt sukellan hieman syvemmälle modernissa portfolioteoriassa.

Osakkeiden korrelaatio ja kovarianssi - yksinkertaisempi malli

Tarkimman osakkeiden välisen korrelaation saa selville laskemalla sen osakekursseista. Tämä on kuitenkin varsin työlästä ja jos salkusta löytyy useita kymmeniä eri osakkeita vie pelkkä korrelaatioiden selvittäminen tuhottomasti aikaa. Apuna voi käyttää myös erilaisia sivustoja (kts. linkit aiemmasta kirjoituksesta), mutta salkun ollessa suuri on osakkeita myös todennäköisesti eri markkinapaikoilta, jolloin kaikkien korrelaatioiden selvittäminen ei onnistu edes näillä työkaluilla.

Koska jokaisen osakkeen välisen korrelaation ja kovarianssin laskenta isossa portfoliossa on työlästä on siihen kehitetty avuksi myös yksinkertaisempi malli. Tässä mallissa laskenta tapahtuu käyttämällä hyväksi osakkeiden beta arvoja ja markkinoiden keskihajontaa. Se on nimeltään Single-Index Model. Tämä malli ei anna yhtä tarkkoja arvoja, mutta se on nopeampi käyttää. Mallin nimi tulee siitä, että laskentakaavassa proxynä käytetään jotakin markkinaindeksiä.

Single-Index Model kaavaa käyttäen osakkeiden i ja j välinen kovarianssi lasketaan seuraavasti:

Cov(r_i, r_j) = β_iβ_jσ²_m

Eli osakkeen i beta kerrotaan osakkeen j betalla ja lopuksi nämä kerrotaan markkinoiden varianssilla eli keskihajonnalla korotettuna toiseen potenssiin.

Vastaavasti korrelaation laskeminen tapahtuu käyttäen seuraavaa kaavaa:

Corr(r_i, r_j) = β_iβ_jσ²_m / σ_iσ_j

Kaavan yläosa on sama kuin konvarianssin laskennassa. Kovarianssi siis vain jaetaan osakkeiden i ja j kerrottuna keskihajontana ja saamme selville osakkeiden välisen korrelaation.

Tehokas rintama

Useasta eri sijoituksesta koostuvasta salkusta on mahdollista piirtää tuotto-riski käyrä. Käyrä on mahdollista muodostaa käymällä lävitse salkun eri sijoitusten mahdolliset painotukset salkussa ja muodostamalla näin saaduista tuotto-odotuksista ja keskihajonnoista lasketuista arvoista kuvaaja. Mikäli salkussa on eri sijoituksia kolme tai enemmän on se aina banaanin muotoinen. Käyrän jyrkkyys riippuu salkussa olevista sijoituksista.

Mikäli laskit edellisessä kirjoituksessani kertomalla tavalla oman salkun pienimmän mahdollisen keskihajonnan niin se löytyy pisteestä, joka on käyrän aivan vasemmassa laidassa. Eli pisteestä, jossa keskihajonta (standard deviation) on kaikkein pienimmillään. Tämä on myöskin piste, josta ns. tehokas rintama eli efficient frontier alkaa.

Kyseisestä pisteestä käyrää alaspäin mentäessä olevissa sijoitusten painotuksilla lasketussa salkussa on mahdollista saada vain huonompia tuottoja kasvavalla riskillä. Siis kyseiset sijoitusten painotukset tarjoavat vain pienempiä tuottoja korkeammalla riskillä. Käyrän tässä osassa olevat sijoitusten painotukset siis eivät kuulu tehokkaaseen rintamaan.

Tehokkaaseen rintamaan sen sijaan kuuluvat kaikki keskihajonnan minimipisteestä ylöspäin olevat tuotto-odotus-riski kombinaatiot. Kaikki käyrän tälle puolelle kuuluvat sijoitusten painotukset kasvattavat salkun tuotto-odotusta riskin lisääntyessä.

Sijoittajilla on mahdollista sijoittaa rahansa tällaisista yksittäisistä riskisistä osakkeista koostuvan salkun sijaan myös täysin riskittömästi. Pääoma-allokaatiosuora (CAL - Capital Allocation Line) on mahdollista piirtää saman kuvaajan rinnalle. Suoran alkupiste on riskittömän korkokannan mukaisessa arvossa, joka kuvassa on pisteessä risk free rate. Suora piirretään siten, että se koskettaa tehokkaan rintaman yläosaa.

Pisteessä, jossa pääoma-allokaatiosuora ja tehokas rintama kohtaavat sijaitsee markkinaportfolio. Pistettä kutsutaan joskus myös nimellä super-efficient portfolio. Ylläolevassa kuvassa piste on kohdassa tangency portfolio. Tässä kohdassa sijaitsee siten optimaalinen riskisistä sijoituksista koostuva salkku modernin portfolioteorian mukaan.

Indeksisijoittajalle tässä on huomionarvoista se, että yleensä indeksit samalla mittaavat jotakin markkinaa. Näin ollen indeksisijoittaja tulee ostaneeksi juuri näitä optimaalisia sijoituksia.